O ENSINO DA ÁLGEBRA: FUNÇÕES

Função do 2º grau

https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AmqBb0IPOeL3dHlFY2podGdNTnFqVm9JUndrZnpickE&hl=pt_BR#gid=0

UNEB- UNUVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

NEAD- NÙCLEO DE EDUCAÇÂO A DISTÂNCIA

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÀTICA A DISTÂNCIA

DISCIPLINA: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

PROFESSORA FORMADORA: ROSIMEIRE DE FÁTIMA BATISTELA

ALUNAS: Mª. RUTE RIBEIRO DA HORA E TÂNIA SANTOS CARÔSO

Biografia de René Descartes

Nascido em 31 de março de 1596, em La Haye, na província de Touraine. Filho de Joachim Descartes, advogado e juiz, possuía terras e o título da nobreza francesa, além de ser conselheiro no Parlamento de Rennes, na Bretanha. Perdeu sua mãe, Jeanne Brochard, ainda muito cedo com apenas um ano de vida, por isso foi criado pela avó.

Contemporâneo de Galileu e Pascal estudou e trabalhou sob as influências religiosas repressoras da Inquisição. Forma-se em Direito pela Universidade de Poitiers e ingressa no exército do príncipe de Orange, na Holanda, onde tem contato com as descobertas recentes da Matemática e Conheceu Isaac Beeckman, que o influenciou fortemente e compôs um pequeno tratado sobre música intitulado Compendium Musicae (Compêndio de Música).

Começa a formular sua geometria analítica e seu “método de raciocinar corretamente”, já aos seus 22 anos de idade. Propõe (1619), uma ciência unitária e universal, espalhando as bases do método científico moderno e rompendo com a aristotélica adotada nas academias.  Nesse mesmo ano, no dia 10 de novembro, teve uma visão em sonho de um novo sistema matemático e científico. Três anos depois retornou a França e passou os anos seguintes em Paris e em outras partes da Europa. Incentivado pelo cardeal de Bérulle, escreveu em 1628, "Regras para a Direção do Espírito". Trabalhou em “tratado do mundo" 1629, obra de física, porém  com a condenação de Galileu 1633, pela igreja católica, Descartes não o publicou.

 Publicou anonimamente "Discurso sobre o Método para Bem Conduzir a Razão a Buscar a Verdade Através da Ciência". Com três apêndices: "A Dióptrica" (um trabalho sobre ótica), "Os Meteoros" (sobre meteorologia), e "A Geometria" (onde introduz o sistema de coordenadas que ficaria conhecido como "cartesianas", em sua homenagem).

Passou a ser conhecido, bem como suas teorias se tornaram públicas nos ambientes esclarecidos e sua afirmação "Penso, logo existo" (Cogito, ergo sum) tornou-se popular, tornando-se o primeiro a levantar a doutrina do dualismo corpo/mente e a propor uma sede física para a mente, e a maneira como ela se interrelaciona com o corpo. Esses temas tornaram-se importantes para as neurociências que só vieram a dominá-las quatro séculos após.

Sua obra mais conhecida: as "Meditações Sobre a Filosofia Primeira" surgiu em 1641, com os primeiros seis conjuntos de "Objeções e Respostas". Tendo como  autores das objeções: Johan de Kater; Mersene; Thomas Hobbes; Arnauld e Gassendi e a segunda edição das Meditações incluía uma sétima objeção, essa feita pelo, então, jesuíta Pierre Bourdin.
1643 a filosofia cartesiana é Condenada pela Universidade de Utrecht (Holanda), e acusado de ateísmo, Descartes obteve a proteção do Príncipe de Orange para no ano seguinte, lançar "Princípios de Filosofia", um livro  dedicado à física, o qual ofereceu à princesa Elizabete da Boêmia, com quem mantinha correspondência. Sua obra de destaque é Discurso do Método (1637), em que apresenta a premissa de seu método de raciocínio base de sua filosofia e do futuro racionalismo científico. – “Penso, logo existo!” –Nessa obra mostra as quatro regras para se chegar ao conhecimento: nada é verdadeiro até ser reconhecido como tal; os problemas precisam ser analisados e resolvidos sistematicamente; as considerações devem partir do mais simples para o mais complexo; e o processo deve ser revisto do começo ao fim para que nada importante seja omitido. Escreve ainda Meditações da Filosofia Primeira (1641) e Princípios de Filosofia (1644). Em 1649, vai trabalhar como instrutor da rainha Cristina na Suécia. Morre de pneumonia no ano seguinte.

O "Tratado das Paixões" teve uma cópia enviada a rainha Cristina da Suécia, por meio do embaixador francês. Descartes foi para Estocolmo em 1649 depois de insistentes convites, com o objetivo de instruir a rainha de 23 anos em matemática e filosofia e no clima rigoroso teve a saúde abalada. Em Fevereiro de 1650, contraiu pneumonia e dez dias depois morreu. Em 1667, depois de sua morte, a Igreja Católica Romana colocou suas obras no Índice de Livros Proibidos. E por isso tudo que René Descartes, por vezes reverenciado como o fundador da filosofia moderna e o pai da matemática moderna, é considerado um dos pensadores mais influentes da história humana responsáveis pela chamada revolução científica moderna.

BIBRIOGRAFIA

Nova Enciclopédia Barsa - São Paulo: Encyclopédia Britannica do Brasil Publicações, 1998. Obra em 18 v,ISBN 85-7026-445-3(obra completa)1. Enciclopédias e dicionários98-0001 CDD -030

http://educacao.uol.com.br/biografias/rene-descartes.jhtm. Acessado em 20 de outubro de 2011

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes Acessado em 20 de outubro de 2011

http://www.infoescola.com/filosofos/rene-descartes  Acessado em 20 de outubro de 2011

BIOGRAFIA DE JULES HENRI POINCARÉ

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

ELIANA MARIA DE JESUS

LAZARO SOUZA

Biografia do matemático Jules Henri Poincaré apresentada à disciplina História da Matemática como requisito avaliativo, sob orientação da professora Rosemeire de Fátima Batistela. Curso de Licenciatura em Matemática à Distância da Universidade do Estado da Bahia - UNEB.

                                                                              

Jequié – BA

Novembro- 2011

BIOGRAFIA DE JULES HENRI POINCARÉ

Em 29 de abril de 1854 nasceu o matemático considerado um dos mais importantes da época Jules Henri Poincaré na França  cidade de Nancy, sendo que sua família era muito influente, possuindo lugar de destaque na sociedade, pois o mesmo era filho de Leon Poincaré professor de medicina na Universidade Sagaret, sua irmã Aline casou com Emile Boutroux um filósofo espiritualista.

Em Nancy, que nasceu, a 29 de Abril de 1854, um dos maiores matemáticos do nosso tempo - Jules-Henri Poincaré. Provinha de uma família influente. O  pai, Léon, era professor de medicina na Universidade de Nancy; a  irmã, Aline, casou com o eminente filosofo Émile Boutroux; o  primo, Raymond, foi presidente e primeiro ministro de França.( Silva, Sandra Isabel Henriques e Miranda,Carla Maria Esteves ,1999/2000)

Aos 15 anos de idade apresentou interesse pela matemática, Poincaré desde criança era estudioso e gostava muito de ler, sendo considerado um estudante de destaque no Liceu, onde ganhou seu primeiro prêmio, esse prêmio era resultado de uma disputa entre os estudantes que mais se destacasse nos Liceus da França.

Sua formação em engenharia de minas se deu na École Polytechnique, considerada berço da matemática francesa, e na Escola Nacional Superior de Minas obteve o doutorado em ciências na Faculdade de Ciências de Paris. Na qual foi indicado como professor de análise associado ocupando a cadeira de Física, Mecânica experimental, Matemática Física, Teoria das Probabilidades, Mecânica celeste e Astronomia. Como nos remete informações contida em  Wikipedia:

Poincaré ingressou na École Polytechnique em 1873. Ele estudou matemática, tendo sido aluno de Charles Hermite, continuou se sobressaindo e publicou seu primeiro trabalho (Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface) em 1874. Graduou-se em 1875 ou 1876 e continuou os seus estudos na École des Mines, aprofundando-se na matemática concomitantemente com sua carga de estudo em Engenharia de minas, recebendo o grau de engenheiro em Março de 1879.

Henri Poincaré casou com Mlle Poullain d’Andecy e com ela teve quatro filhos sendo que era  três meninas e um menino. Em 1881, estabeleceu-se firmemente na Universidade de Paris, onde trabalhou como importante líder da matemática francesa – e provavelmente mundial.

Poincaré dedicava-se aos estudos da matemática pura e aplicada, foi professor, astrônomo, físico, além de formular o conceito das funções automórficas utilizadas na solução das equações diferenciais lineares e equações lineares de segunda ordem com coeficientes algébricos. Sua tese de doutoramento em ciências da matemática, no campo das Equações Diferenciais, na Universidade de Paris, sob a supervisão de Charles Hermite, um matemático tradicional da França, configurou uma importante contribuição para a matemática, pois delineou uma nova maneira de estudar as propriedades destas funções. Segundo orientações de Silva e Miranda:

Poincaré era um unificador, um investigador de princípios gerais, o último dos tradicionalistas e o primeiro dos modernos. Percorreu praticamente toda a matemática da época: equações diferenciais, teoria dos números, análise complexa, mecânica, astronomia, física matemática. As suas obras completas incluem mais de 400 livros e artigos, muitos deles de grande extensão. (1999/2000)

Em 1895 lançou um tratado sistemático de topologia, o “Analysis situs”. Foi um grande estudioso da física como a óptica, a eletricidade, telegrafia, elasticidade, termodinâmica e até cosmologia. Em seus estudos a respeito da mecânica foi responsável por trabalhos referentes à teoria da luz e das ondas eletromagnéticas. Com Hendrik Lorentz, deu inicio a estudos que viriam a ser utilizados por Albert Eistein na elaboração da Teoria da Relatividade, sendo também, pesquisador dessa teoria, das quais dentre suas obras destacam-se: Analysis situs (1895), Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1892-1899), e Leçons de mécanique céleste (1905-1910). Autor da “Conjectura de Poincaré”, resolvido no início do século XXI, pelo matemático russo Grigory Perelman. Jules Poincaré foi premiado, em 1889, pelo trabalho sobre o “problema dos três corpos”.

Henri Poincaré faleceu em Paris, no dia 17 de julho 1912, aos 58 anos, vítima de uma embolia após ser submetido a uma cirurgia devido a um problema de próstata. Enterrado no mausoléu da família Poincaré no Cemitério  de Montparnasse,  foi exumado e enterrado no Pantheon em Paris, o qual é reservado a cidadãos franceses que prestaram grandes serviços à nação, por ordem do ministro da época o  Ministro da Educação Francês, Claude Allègre.

A realização deste trabalho aconteceu com base nas pesquisas realizadas cujo informações consta na referência procurando transcrever as informações contidas nas mesmas, sendo que a realização  do mesmo foi de suma importância para ampliar a nossa aprendizagem.

A construção deste trabalho trouxe algumas preocupações, pois não temos um acervo diferenciado para pesquisa (livros), o que impossibilita busca informações diferentes mais mesmo assim, foi muito proveitoso para nós.

Referências:

Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincaré. Acesso dia 25/10/2011.

Disponível em: http://pt.learnedrussian.com/biografia-de-henry-poincare.html. Acesso dia 25/10/2011

Silva, Sandra Isabel Henriques e Miranda,Carla Maria Esteves,1999/2000. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/poincare/index.htm.  Acesso dia 25/10/2011

Nova Enciclopédia Barsa. - São Paulo: Enciclopédia Britânica do Brasil Publicações, 1998.

Obra em 18 v.ISBN 85-7026-445-3(obra completa)

Disponível em: http://www.cienciahoje.pt/index.php?oid=9551&op=all. Acesso dia 01/09/2011 as 23:05.

História da Matemática

Atividade de História da Matemática

ELIANA MARIA DE JESUS

LAZARO SOUZA

TÂNIA CAROSO

MARIA RUTE

LUDMILA GALVÃO

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Atividade de produção e apresentação de uma proposta de ensino de tópicos matemáticos utilizando o recurso da História da Matemática da disciplina História da Matemática sob orientação da professora Rosemeire de Fátima Batistela tendo como requisito avaliativo, para o curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado da Bahia - UNEB.

Campus de Jequié-Bahia, 2011.

Jequié – outubro- 2011

• Um breve texto sobre a origem histórica do desenvolvimento de tal tópico até os dias atuais;

De origem inserta a trigonometria surgiu a partir da semelhança de triângulo retângulos e devido à necessidade de se medir distâncias inacessíveis. Pode-se dizer que o início do seu desenvolvimento foi principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e navegação, por volta do século IV ou V.a.C., com os egípcios e babilônicos.

A etimologia da palavra trigonometria é medida das partes de um triângulo. A trigonometria, palavra formada pro três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir), têm por objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos- ou arcos- numa circunferência e os comprimentos de suas cordas. No século V.a.C. já se têm registro de resoluções de problemas sobre cálculo de distância inacessíveis, por meio de semelhança de triângulos retângulos.

Alguns séculos mais tarde, principalmente no início da era cristã, com a necessidade de ampliar as noções de seno, cosseno e tangente, surgem o quadrante trigonométrico como substituto do triângulo retângulo. Nesse momento inicia-se trabalho com a trigonometria em circunferência, por meio do cálculo de cordas e consequentemente a montagem das primeiras tabelas trigonométrica. Tais conhecimentos foram ampliados pelas necessidades encontradas pelos astrônomos.

O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado “ o pai da Trigonometria”, pois fez um tratado em que se ocupou da construção da primeira tabela trigonométrica, incluído uma tábua de corda. Provavelmente, Hiparco tinha a finalidade de usar os cálculos em seus estudos de astronomia.

O estudo da Trigonometria, então era baseado no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua conta. Apesar da corda de um arco não ser o seno, uma vez conhecendo o valor do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio é justamente esse valor, ou seja, para um círculo de raio, unitário, o comprimento da corda subtendida por um ângulo x é 2. seno.

O conceito de cosseno surgiu no século XVII, como sendo o seno do complemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias.

O matemático grego, Menelau de Alexandria,, por volta de 100 d.C. produziu um tratado sobre cordas num circulo, em seis livro, entretanto, a mais influente e significativa obra trigonométrica da Antiguidade foi a Syntaxis mathematica, obra escrita por Pttolomeu de Alexandria que contém 13 livros.

Este tratado é famoso por sua capacidade e elegância, e para distingui-lo de outro dói associado a ele o superlativo “o maior”. Mais tarde na Arábia o chamaram de Almajesto, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome.

Não se pode negar a importância da trigonometria para a própria matemática e para a física. Daí, a sua inclusão no currículo do Ensino Médio.

A trigonometria é um campo da Matemática que esteve presente na escola secundaria ao longo de todo o século XX. No entanto, mesmo sendo um conteúdo obrigatório ensinado no atual Ensino Médio, constata-se que os alunos não aprendem os conhecimentos necessários nessa área do conhecimento matemático.

Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da Matemática, como análise, e a outros campos da atividade humana, como a Eletricidade, Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, A Engenharia Civil. Será relevante o estudo da trigonometria se nosso aluno perceber a importância de seu estudo para aplicações futuras. Sendo assim significativa a aprendizagem desse conhecimento matemático na vida dos nossos alunos.

• Panorama sobre a distribuição dos conteúdos da trigonometria no currículo de Matemática no Brasil.

De acordo com pesquisas, a trigonometria não tem conteúdos específicos, são conteúdos intercalados dentro da Matemática e distribuídos da seguinte forma:

Para o ensino fundamental, a trigonometria: relações métricas no triângulo retângulo e relações trigonométricas nos triângulos.

Para o ensino Médio os conteúdos da trigonometria estão estruturados da seguinte forma:

Trigonometria: relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo e a trigonometria na circunferência.

• Um panorama sobre a situação atual do ensino desses tópicos e a história dessa evolução até a condição atual que se mostra, bem como, como se apresenta hoje em termos de ensino e de aprendizagem;

A situação atual da trigonometria de acordo com pesquisas, no cenário da Matemática tem avançado sendo empregado esse conhecimento, em outras áreas do conhecimento, como a engenheira, a física entre outras. Utilizando como principal objetivo as relações do triângulo. A trigonometria é uma dos mais antigos ramos da matemática, na antiguidade era utilizada para representar e medir e localizar distâncias. No contexto histórico, a trigonometria começou a avançar e criar novos campos de estudos a partir do século XV desenvolvendo estudo envolvendo situações e diferentes funções.

Dificuldades no processo ensino aprendizagem da trigonometria. De acordo com o contexto atual, considerando os avanços tecnológicos, a trigonometria esta sendo trabalhada de forma descontextualizada, não considerando a história da trigonometria, bem como a realidade do aluno.

• Fundamentação teórica da utilização da História da Matemática no ensino;

A origem da trigonometria vem desde a antiguidade, com problemas enfrentados pelos navegadores, astrônomos e os agrimensores para realizarem os trabalhos de calcular e medir grandes distâncias houve a necessidade de buscar novas estratégias que pudesse sana tais dificuldades então suje a trigonometria com uma oportunidade de ajudar a desenvolver essas atividades. Como nos afirma as orientações de Giovanni Júnior, José Ruy (2009) “A necessidade de se calcular grandes distâncias, aliadas à falta de instrumentos adequados para esse fim, era um grande problema para os estudos de Astronomia, para a navegação e para a agrimensura”.

Segundo Giovanni Júnior, José Ruy (2009, p.266), a palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo, sendo que trigonometria do grego trigono (triangular) e metria (medida).

Através de pesquisas realizadas sobre a História da Matemática podemos perceber que os gregos, babilônicos, hindus entre outros povos contribuíram de forma relevante, extraordinária e significante com a trigonometria, possibilitando que nos dias de hoje todos possam ser contemplado com tal feito. Assim, é importante que os professores façam uma reflexão sobre a necessidade de trabalhar a História da Matemática para que os alunos possam conhecer-la desde o início e quais foram os principais objetivos e necessidade dos responsáveis pela criação da matemática, como nos sinaliza o PCN de Matemática (2000, p.46) “A Historia da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural”.

Assim, é pertinente a reflexão sobre o estudo da História da Matemática no ensino de trigonometria, pois na maioria das vezes não se da à devida importância nas salas de aulas a própria trigonometria e a sua história no contexto da evolução.

Portanto, o PCN de Matemática (2000, p.45) sugestiona que: “A Historia da Matemática, mediante um processo de transposição didática e juntamente com outros recursos didáticos e metodológicos, pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem em Matemática”.

A trigonometria ajuda ampliar o conhecimento do aluno além de possibilitar ao mesmo desenvolve as habilidades como afirma o PCN Ensino Médio “Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigonometria, desde que se estudo esteja ligado às aplicações [...]”.

 

• Revisão de literatura de propostas já existentes a respeito da utilização da história da matemática para o ensino deste tópico;

Os livros didáticos de matemática começaram descrever um pouco da História da Matemática há muito ano incluído a ideia da Trigonometria em partes separada de outras temáticas como, por exemplo, a geometria, a álgebra, a aritmética. Segundo as orientações de Mendes:

Investigando alguns livros de matemática das primeiras décadas deste século, encontramos uma publicação da editora FTD, adotada como programa do colégio Pedro II, que aborda trigonometria elementar e noções de trigonometria esférica. Este livro, datado de 1928, constitui-se da tradução de um original francês em cujo conteúdo já se configuravam as idéias contestadas por Roxo, pois apresentava como proposta, a discussão da trigonometria como um conteúdo matemático isolado da geometria, da álgebra e da aritmética. (A TRIGONOMETRIA E O SEU ENSINO: ALGUNS FRAGMENTOS DESSA HISTÓRIA)

O livro didático de Barreto Filho, Benigno Matemática aula por aula obra construída em 3 volumes para alunos de 1ª a 3ª série do Ensino Médio da FTB 2003, traz o estudo da Trigonometria separado e descreve um pouco da história da origem da trigonometria desde a antiguidade em uma série de chamada “A história conta” no início do conteúdo, logo podemos perceber que o referido livro vem seguido uma linha em que não tem muita preocupação em trabalha com a história da trigonometria de forma mais detalhada. Segundo Mendes:

O que podemos afirmar acerca da referida publicação da FTD é que, na mesma não há qualquer preocupação com o desenvolvimento conceitual das noções básicas da trigonometria implicando em um ensino desvinculado do seu significado histórico, no que se refere ao desenvolvimento das idéias matemáticas. (A TRIGONOMETRIA E O SEU ENSINO: ALGUNS FRAGMENTOS DESSA HISTÓRIA)

A publicação da FTD, 2009 Conquista da Matemática de Giovanni Júnior, José Ruy, apresenta a mesma caracteriza já citada mesmo se tratando de uma outra coleção não possui algo de novo com relação à História da Trigonometria e da Matemática, sendo que a referida coleção vem descrevendo a história de forma mesmos detalhadas que a coleção do Ensino Médio.

Portanto, podemos perceber que a História da Matemática e da Trigonometria não tem foco principal em algumas coleções de livros didáticos e que isso produz um cenário presenciado por todos em que a maioria dos estudantes não se identifica com a trigonometria e não tem conhecimento sobre a história da matemática.

• A proposta detalhada elaborada pelo grupo para o ensino do tópico utilizando o recurso da História da Matemática.

A proposta é: Uma seqüência didática

Podemos trabalhar o ensino da trigonometria baseado na História da Matemática através de:

1. Estudos bibliográficos dos matemáticos da trigonometria.

2. Estudo de textos referente a trigonometria no passado até os nossos dias com compreensão e interpretação.

3. Usar os textos do item anterior no momento das aplicações dos procedimentos metodológicos, ou seja, usar os textos na hora de explicar trigonometria.

4. Propor atividades significativas e resolver alguns problemas citados pelo texto.

5.Trabalho de campo

Para tornar a aprendizagem significativa o professor pode propor o trabalho de campo, onde o alunado poderá entrar em contato com situações trigonometrica do seu cotidiano, como por exemplo: Sombras de um edificício em determinada hora do dia, altura de um porte, árvore, distância percorrida, etc...Nessa oportunidade deverá ser explorado os conhecimentos prévios dos educandos os estudos feitos em sala de aula.

Através desta seqüência matemática os alunos serão capazes de debater os pontos relevantes da História da Matemática, além de ampliar as competências e habilidades no conhecimentos matemáticos. Como exemplo será apresentado as atividades a seguir.

 

1. Estudo da biografia de Pitágoras 
 

Fonte: wikipedia

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.

Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido

Pitágoras cunhado em moeda.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C.

ESTUDO DO TEXTO:

1. Quem foi e qual a importância de Pitágoras para a humanidade.
2. No campo matemático quais foram a descobertas de Pitágoras? Comente sobre a importância dessas descobertas nos dias atuais.
3. Por que estudar teorema de Pitágoras na 8ª série?
4. Trigonometria surgiu a partir da semelhança de triângulos retângulos e devido à necessidade de se medir distâncias inacessíveis.

Como vamos provar isso pro nosso aluno?

2. Estudo de textos referente e trigonometria no passado aos nossos dias com compreensão e interpretação.

Texto: História da trigonometria

Fonte: wikipedia

A trigonometria não é obra de um só homem ou nação. A sua história tem milhares de anos e faz parte de todas as grandes civilizações. Deve ser notado que, desde os tempos de Hiparco até os tempos modernos, não havia tal coisa como "razão" trigonométrica. Ao invés disso, os gregos e depois os hindus e os muçulmanos usaram linhas trigonométricas. Essas linhas primeiro tomaram a forma de cordas e mais tarde meias cordas, ou senos. Essas cordas e linhas de senos então seriam associadas a valores numéricos, possivelmente aproximações e listados em tabelas trigonométricas.^[2]

Trigonometria antiga

Os antigos egípcios e babilônicos conheciam teoremas sobre as razões dos lados de triângulos semelhantes por muitos anos. As sociedades pré-helênicas não possuíam o conceito de medida de um ângulo e, consequentemente, eram estudados os lados do triângulo, um campo de estudo que seria melhor chamado de "trilaterometria".^[3]

Com base na interpretação da tábua cuneiforme Plimpton 322 (cerca de 1900 a.C.), tem-se afirmado que os babilônicos antigos tinham uma tábua de secantes.^[4] No entanto, existe muito debate sobre se ela é uma tabela de trinas pitagóricas, soluções de equações quadráticas ou uma tábua trigonométrica.

Matemática grega

A corda de um ângulo subentende o arco do ângulo.

Os matemáticos helênicos fizeram uso da corda. Dados um círculo e um arco nesse círculo, a corda é a linha que subentende o arco. Uma bissetriz perpendicular da corda passa através do centro do círculo e bissecciona o ângulo. Uma metade da corda bisseccionada é o seno do ângulo bisseccionado, isto é, , e consequentemente a função seno é também conhecida como "meia corda". Devido a essa relação, muitas das identidades trigonométricas e teoremas conhecidos hoje também o eram aos matemáticos helênicoss, mas na sua forma equivalente de corda.^[5]

Apesar de que não há nenhuma trigonometria nos trabalhos de Euclides e de Arquimedes, estritamente falando, existem teoremas apresentados de uma forma geométrica que são equivalentes a fórmulas ou leis trigonométricas específicas.^[3] Por exemplo, as proposições 12 e 13 dos Elementos são a lei dos cossenos para ângulos agudos e obtusos, respectivamente. Teoremas a respeito do comprimento das cordas são aplicações da lei dos senos. E o teorema de Arquimedes sobre cordas rompidas é equivalente às fórmulas para o seno de somas e diferenças de ângulos.^[3] Para compensar a falta de uma tabela de cordas, os matemáticos da época de Aristarco de Samos às vezes usavam um conhecido teorema de que, na notação moderna, sin α/ sin β <α/β < tan α/ tan β sempre que 0° < β < α < 90°, dentre outros.^[6]

A primeira tabela trigonométrica foi aparentemente compilada por Hiparco de Nicéia (180 a.C. - 125 a.C.), que é agora conhecido como o "pai da trigonometria."^[7] Hipparchus was the first to tabulate the corresponding values of arc and chord for a series of angles.^[1][7]

Uma representação medieval de Claudius Ptolomeu

Apesar de não se saber quando o uso sistemático do círculo de 360° passou a fazer parte da matemática, é sabido que sua introdução se deu um pouco depois de Aristarco de Samos ter escrito Sobre os Tamanhos e Distâncias do Sol e da Lua (ca. 260 a.C.), uma vez que ele mede o ângulo em termos da fração de um quadrante.^[6] Parece que o uso sistemático do círculo de 360° é em boa medida devido a Hiparco e sua tabela de cordas. Hiparco pode ter tirado a idéia dessa divisão de Hypsicles, que tinha anteriormente dividido o dia em 360 partes, uma divisão do dia que deve ter sido sugerida pela astronomia babilônica.^[8] Na astronomia antiga, o zodíaco havia sido dividido em doze "signos" ou 36 "decanos". Um ciclo sazonal de aproximadamente 360 dias pode ter correspondido aos signos e decanos do zodíaco, dividindo cada signo em trinta partes e cada decano em dez partes.^[2] It is due to the Babylonian sexagesimal number system that each degree is divided into sixty minutes and each minute is divided into sixty seconds.^[2]

Menelau de Alexandria (ca. 100 a.C.) escreveu em três livros chamados Sphaerica. No Livro I, ele estabelece uma base para triângulos esféricos análogos à base de Euclides para os triângulos planos.^[5] Ele estabeleceu um teorema sem análogo em Euclides, que dois triângulos esféricos são congruentes se os ângulos correnpondentes são iguais; no entanto, ele não estabeleceu uma distinção entre triângulos esféricos simétricos e congruentes.^[5] Outro teorema estabelecido por ele é que a soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior do que 180°.^[5] O Livro II de Sphaerica aplica a geometria esférica à astronomia e o Livro III contém o "teorema de Menelau".^[5] Ele ainda deu a sua famosa "regra das seis quantidades".^[9]

Mais tarde, Claudius Ptolomeu (ca. 90 - ca. 168) expandiu as Cordas em um Círculo de Hiparco no seu Almagesto, ou a Sintaxe Matemática. Os treze livros do Almagesto são os mais influentes e significativos trabalhos sobre trigonometria de toda a antiguidade.^[10] Um teorema central para o cálculo das cordas de Ptolomeu é conhecido ainda hoje como teorema de Ptolomeu e diz que a soma dos produtos dos lados opostos de um quadrilátero cíclico é igual ao produto das diagonais. Um caso especial do teorema de Ptolomeu apareceu como a proposição 93 na obra Data, de Euclides. O teorema de Ptolomeu leva ao equivalente das quatro fórmulas de soma e diferença para senos e cossenos, conhecidas como fórmulas de Ptolomeu, apesar de que Ptolomeu na verdade usava cordas em vez de seno e cosseno. Ptolomeu ainda derivou o equivalente à fórmula da metade de um ângulo . Ele usou esses resultados para criar suas tabelas trigonométricas, mas não é possível ser determinado se elas foram derivadas do trabalho de Hiparco.^[10]

Nem as tabelas de Hiparco nem as de Ptolomeu sobreviveram aos nossos dias, mas descrições delas feitas por outros autores antigos deixam pouca dúvida da sua existência.^[11]

4. Propor atividades significativas e resolver alguns problemas citados pelo texto.

Exemplo 1:

Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângulo:

a) a = 6; b = 7 e c = 13;

b) a = 6; b = 10 e c = 8.

Resolução:

"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo".

Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.
a)

           

Logo, o triângulo não é retângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.

Exemplo 2:

 Calcula o valor de x em cada um dos triângulos retângulos:
a)

          

 b)

              

Resolução:

a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

          







b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

       

Exemplo 3:

  Calcula as áreas das seguintes figuras.

 a)

b)

Resolução:

a)

b)
 

Exemplo 4:

a)      Qual era a altura do poste?

Resolução:

h = 4 + 5 = 9

Resposta: A altura do poste era de 9 m.

b)       Qual é à distância percorrida pelo berlinde.

Resolução:

Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de:
                            265 cm = 2,65 m.

Referências:

Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Kapitolinischer_Pythagoras.jpgAcesso em 05/10/2011, ás 12:00

MENDES, Iran Abreu. A TRIGONOMETRIA E O SEU ENSINO: ALGUNS FRAGMENTOS DESSA HISTÓRIA

Disponível em: http://www.google.com.br/#hl=pt-BR&cp=53&gs_id=2&xhr=t&q=TRIGONOMETRIA+E+O+SEU+ENSINO%3A+ALGUNS+FRAGMENTOS+DESSA&pf=p&sclient=psy-ab&site=&source=hp&rlz=1R2ADSA_pt-BRBR440&pbx=1&oq=TRIGONOMETRIA+E+O+SEU+ENSINO:+ALGUNS+FRAGMENTOS+DESSA&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=&gs_upl=&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=81cb2f990171a30f&biw=810&bih=397

Acesso em 02/10/2011, ás 20:50

Barreto Filho, Benigno. Matemática aula por aula/Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier da Silva. -1 ed.-São Paulo: FTD,2003.-(Coleção matemática aula por aula).

Giovanni Júnior, José Ruy. A conquista da matemática, 9º ano/ José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. -Ed. Renovada. -São Paulo, 2009-(Coleção a conquista da matemática).

Disponível em: Simionato, Ivane Marcarini, Pacheco, Edilson Roberto Pacheco. UM OLHAR HISTÓRICO À TRIGONOMETRIA COMO FONTE DE MOTIVAÇÃO EM SALA DE AULA

http://www.google.com.br/search?sourceid=navclient&aq=hts&oq=&hl=pt-BR&ie=UTF-8&rlz=1T4ADSA_pt-BRBR440BR440&q=Um+olhar+hist%c3%b3rico+%c3%a0+Trigonometria%3a+aprendizagem+motivada+pela+hist%c3%b3ria+da+matem%c3%a1tica

Parâmetros curriculares nacionais: matemática/secretaria de Educação Fundamental-2,ed.-Rio de Janeiro:DP&A,2000.

Brasil, Ministério da educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica Parâmetros Curriculares nacionais: ensino médio. /Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. - BRASÍLIA: Ministério da Educação, 199.

Matemática: Volume único: manual do professor Iezze, Gelson...et.ai.-São Paulo: Atual, 1997.

Disponível em: www.sbfisica.org.br/arquivos/PCN_CNMT.pdf

Disponível em: crv.educação.mg.gov.br